"三名跑者分获第一、第二、第三"和"三名跑者进入决赛"，是两个不同的问题。两者从同一批人里挑出同样多的人，但一个数的是次序，另一个数的是人选组合——而前一个答案总是更大，大出来的正好是被选中的人之间可以互相调换的方式数。这个页面把两者一起显示出来，好让这个选择被看见，而不是被默认。

三步上手

1. 1 填入 n——一共有多少个东西可供挑选。
2. 2 填入 r——你要从中取走多少个。
3. 3 看与你的问题相符的那一行：顺序算不算数。

决定用哪条公式的那一个问题

问一句：把选出来的两样东西对调，结果会不会变成另一个。金牌和银牌对调，是另一个结果，所以领奖台名次属于排列。两个彩票号码对调，还是同一张票，所以开奖属于组合。其余的一切都由这一个判断推出来，而在这上面判断错，是数学这个角落里最常见的错误——通常是把同一组人重复数了好几遍。

为什么这些数字长得这么快

在普通算术里，排列数的增长几乎比什么都快。十样东西有 3,628,800 种排法；十五样就超过一万亿种。正是这种增长，让四位转盘的挂锁让人觉得安全，也让洗一副牌几乎必然产生一个从没有人见过的牌序。同样是它，让精确答案在屏幕上很快就不再可能——工具会把这一点说出来，而不是打印一串它无法担保的数字。